| Меню сайта |
| | |
 |
| Категории раздела |
| | |
|
| Вход на сайт |
| | |
|
| Поиск |
| | |
|
| Календарь |
|
| « Май 2017 » |
| Пн |
Вт |
Ср |
Чт |
Пт |
Сб |
Вс |
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | | 29 | 30 | 31 | | |
|
| Архив записей |
| | |
|
| Статистика |
|
Онлайн всего: 1 Гостей: 1 Пользователей: 0 | |
|
|
 | |  |
| Главная » 2017 » Май » 26 » Четырёхмерный многогранник
13:19 Четырёхмерный многогранник |
[править | править вики-текст]
Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Графы шести выпуклых правильных четырёхмерных многогранников[en]
{3,3,3}
{3,3,4}
{4,3,3}
Пятиячейник
4-симплекс
Шестнадцати-
ячейник
Ортоплекс
4-ортоплекс
Тессеракт
4-куб
{3,4,3}
{5,3,3}
{3,3,5}
Октаплекс
Двадцатичетырёхячейник
Додекаплекс
Стодвадцатиячейник
Тетраплекс
Шестисотячейник
В геометрии 4-мерный многогранник — это многогранник в четырёхмерном пространстве[1][2]. Многогранник является связанной замкнутой фигурой, состоящей из многогранных элементов меньшей размерности — вершин, рёбер, граней (многоугольников) и ячеек[en] (3-мерных многогранников). Каждая грань принадлежит ровно двум ячейкам.
Двумерным аналогом 4-мерных многогранников является многоугольник, а трёхмерным аналогом является (трёхмерный) многогранник.
Топологически 4-мерные многогранники тесно связаны с однородными сотами[en], такими как кубические соты[en], замощающие 3-мерное пространство. Подобным образом трёхмерный куб связан с бесконечными двумерными квадратными сотами. Выпуклые 4-мерные многогранники могут быть разрезаны и развёрнуты в виде развёрток в 3-мерном пространстве.
Содержание
[скрыть]
1 Определение
2 Визуализация
3 Топологические характеристики
4 Классификация
4.1 Критерии
4.2 Классы
5 См. также
6 Примечания
6.1 Литература
7 Ссылки
Определение[править | править вики-текст]
4-мерный многогранник является замкнутой четырёхмерной фигурой. Он состоит из вершин (угловых точек), рёбер, граней и ячеек[en]. Ячейка — это трёхмерный аналог грани и является (3-мерным) многогранником. Каждая (2-мерная) грань должна соединять ровно две ячейки, аналогично тому, как рёбра трёхмерного многогранника соединяют ровно две грани. Подобно другим многогранникам элементы 4-мерного многогранника не могут быть разделены на два или более множеств, которые также являются 4-многогранниками, то есть он не является составным.
Наиболее известным 4-мерным многогранником является тессеракт (гиперкуб), четырёхмерный аналог куба.
Визуализация[править | править вики-текст]
Примеры представления двадцатиячейника
Срез
Развёртка
Проекции
Шлегель
2D ортогональная
3D ортогональная
4-мерные многогранники невозможно представить в трёхмерном пространстве ввиду лишней размерности. Для визуализации используется ряд техник.
Ортогональная проекция
Ортоганальные проекции можно использовать для показа различных симметрий 4-мерного многогранника. Проекции можно представить в виде двумерных графов, а можно представить в виде трёхмерных тел в качестве проективных оболочек[en].
Перспективная проекция
Точно также как трёхмерные фигуры можно спроецировать на плоский лист, 4-мерные фигуры можно спроецировать в 3-мерное пространство или даже на плоскость. Распространённым видом проекции является диаграмма Шлегеля, использующая стереографическую проекциию точек на поверхности 3-сферы в трёхмерное пространстве, соединёнными в 3-мерном пространстве прямыми рёбрами, гранями и ячейками.
Срез
Точно так же, как разрез многогранника выявляет поверхность разреза, срез 4-мерного многогранника даёт «гиперповерхность» в трёхмерном пространстве. Последовательность таких срезов можно использовать для понимания всей фигуры. Лишнюю размерность можно приравнять ко времени для образования анимации этих сечений.
Развёртки
Развёртка 4-мерного многогранника состоит из многогранных ячеек[en], соединённых гранями и располагающихся в трёхмерном пространстве, точно так же, как многоугольные грани развёртки трёхмерного многогранника соединены ребрами и располагаются все в одной плоскости.
Топологические характеристики[править | править вики-текст]
Тессеракт в виде диаграммы Шлегеля
Топология любого заданного 4-многогранника определяется его числами Бетти и коэффициентами кручения[en][3].
Значение эйлеровой характеристики, используемой для характеристики многогранников, не обобщается должным образом на высшие размерности и равно нулю для всех 4-мерных многогранников, какова бы ни была нижележащая топология. Это несоответствие эйлеровой характеристики для достоверного различения разных топологий в высоких размерностях ведёт к появлению более утончённых чисел Бетти[3].
Подобным образом понятие ориентируемости многогранника недостаточно для характеристики закручивания поверхностей тороидальных многогранников, что приводит к использованию коэффициентов кручения[3].
Классификация[править | править вики-текст]
Критерии[править | править вики-текст]
5-мерные многогранники можно классифицировать по свойствам, таким как «выпуклость» и «симметрия»[3].
4-мерный многогранник является выпуклым, если его границы (включая ячейки, (3-мерные) грани и рёбра) не пересекают себя (в принципе, грани многогранника могут проходить внутри оболочки) и отрезки, соединяющие любые две точки четырёхмерного многогранника, содержатся полностью внутри него.. В противном случае многогранник считается невыпуклым. Самопересекающиеся 4-мерные многогранники известны также как звёздчатые многогранники по аналогии с похожими на звёзды формами невыпуклых многогранников Кеплера — Пуансо.
4-мерный многогранник является правильными, если он транзитивен относительно его флагов. Это значит, что все его ячейки являются конгруэнтными правильными многогранниками, а также все его вершинные фигуры конгруэнтны другому виду правильных многогранников.
Выпуклый 4-многогранник является полуправильным, если он имеет группу симметрии, при которой все вершины эквивалентны (вершинно транзитивны[en]*) и ячейки являются правильными многогранниками. Ячейки могут быть двух и более видов, при условии, что они имеют один и тот же вид граней. Существует только 3 таких фигуры, найденные Торолдом Госсетом[en] в 1900 — полноусечённый пятиячейник[en], полноусечённый шестисотячейник[en] и плосконосый двадцатичетырёхячейник[en].
4-многогранник является однородным[en], если он имеет группу симметрии, при которой все вершины эквивалентны и ячейки являются однородными многогранниками[en]. Грани (2-мерные) однородного 4-многогранника должны быть правильными многоугольниками.
4-многогранник является равнорёберным многогранником[en][4], если он вершинно транзитивен и имеет рёбра одной длины. То есть разрешаются неоднородные ячейки, например, выпуклые многогранники Джонсона.
О правильном 4-мерном многограннике, являющемся к тому же выпуклым, говорят как о правильном выпуклом четырёхмерном многограннике[en].
4-мерный многогранник является призматическим, если он представляет собой прямое произведение двух и более многогранников меньшей размерности. Призматический 4-мерный многогранник является однородным, если его сомножители в прямом произведении однородны. Гиперкуб является призматическим (произведение двух квадратов или куба и отрезка), но рассматривается отдельно, поскольку он имеет более высокую симметрию, чем симметрии, унаследованные от сомножителей.
мозаика или соты в трёхмерном пространстве — это разложение трёхмерного евклидового пространства на повторяющуюся решётку[en] многогранных ячеек. Такие мозаики или замощения бесконечны и не ограничены «4D»-объёмом, так что являются примерами бесконечных 4-многогранников. Однородная мозаика 3-мерного пространства — это мозаика, в которой вершины конгруэнтны и связаны кристаллографической группой, а ячейки являются однородными многогранниками[en].
Классы[править | править вики-текст]
Следующий список различных категорий 4-мерных многогранников классифицирован согласно критериям, изложенным выше:
Усечённый стодвадцатиячейник[en] является одним из 47 выпуклых непризматических однородных 4-мерных многогранников
Однородный четырёхмерный многогранник[en] (вершинно транзитивный[en]*):
Выпуклые однородные 4-мерные многогранники (64, плюс два бесконечных семейства)
47 непризматических выпуклых однородных 4-мерных многогранника включают:
6 правильных 4-мерных могогогранников[en]
Призматические однородные многогранники[en]:
{} × {p, q} : 18 многогранных призм[en] (включая кубические гиперпризмы, правильные гиперкубы)
Призмы, построенные на антипризмах (бесконечное семейство)
{p} × {q} : Дуопризмы (бесконечное семейство)
Невыпуклые однородные 4-мерные многогранники (10 + неизвестно)
Большой великий стодвадцатиячейник[en], имея 600 вершин, является наибольшим из 10 правильных звёздчатых 4-мерных многогранников.
10 (правильных) многогранников Шлефли—Гесса[en]
57 гиперпризм, построенных на невыпуклых однородных многонранниках
Неизвестное число невыпуклых однородных 4-мерных многогранников — Норман Джонсон[en] и другие соавторы нашли 1849 многогранников (выпуклых и звёздчатых), все построены на вершинных фигурах с помощью программы Stella4D[en][5]
Другие выпуклые 4-мерные многоранники:
Многогранная пирамида[en]
Многогранная призма[en] Polyhedral prism
Правильные кубические соты[en] являются единственным правильным бесконечным 4-мерным многогранником в евклидовом 3-мерном пространстве.
Бесконечные однородные 4-мерные многогранники в евклидовом 3-мерном пространстве (однородные замощения выпуклыми однородными ячейками)
28 выпуклых однородных сот[en] (однородных выпуклых замощений), включая:
1 правильное замощение, кубические соты[en]: {4,3,4}
Бесконечные однородные 4-многогранники гиперболического 3-мерного пространства[en] (однородные замощения выпуклыми однородными ячейками)
76 визоффовых выпуклых однородных сот в гиперболическом пространстве[en], включая:
4 правильных замощения компактного гиперболического 3-мерного пространства: {3,5,3}, {4,3,5}, {5,3,4}, {5,3,5}
Двойственные однородные четырёхмерные многогранники[en] (ячейно транзитивные[en]):
41 единственно возможных двойственных однородных 4-мерных многогранника
17 единственно возможных двойственных однородных многогранных призм
бесконечное семейство двойственных выпуклых однородных дуопризм (с неправильными тетраэдральными ячейками)
27 единственно возможных двойственных однородных сот, включая:
Ромбические додекаэдральные соты[en]
Равногранные тетраэдральные соты[en]
Другие:
Структура Уэйра-Фелана[en] периодических заполняющих пространство сот с неправильными ячейками
Одиннадцатиячейник[en] являетсяis абстрактным правильным 4-мерным многогранником, существующим в вещественной проективной плоскости[en]. Его можно представить, нарисовав его 11 полуикосаэдральных вершин и ячеек в цвете.
Абстрактные правильные 4-мерные многогранники[en]:
Одиннадцатиячейник[en]
Пятидесятисемиячейник[en]
Эти категории включают только 4-мерные многогранники с высокой степенью симметрии. Возможно существование многих других 4-мерных многогранников, но они не изучались столь интенсивно, как перечисленные выше.
См. также[править | править вики-текст]
Правильный четырёхмерный многогранник
3-сфера является другой широко обсуждаемой фигурой, располагающейся в четырёхмерном пространстве. Но она не является 4-мерным многогранником, поскольку не ограничена многогранными ячейками.
Дуоцилиндр[en] является фигурой в 4-мерном пространстве, связанной с дуопризмами, хотя это тоже не многогранник.
Примечания[править | править вики-текст]
↑ Vialar, 2009, p. 674.
↑ Capecchi, Buscema, D'Amore, 2010, p. 598.
↑ Перейти к: 1 2 3 4 Richeson, D.; Euler’s Gem: The Polyhedron Formula and the Birth of Topoplogy, Princeton, 2008.
↑ В английском языке используется слово scaliform, образованное от двух слов — scale (многозначное слово, здесь — размер, шкала) и uniform (однородный). Название предложил Джонатан Боуэрс (Jonathan Bowers)
↑ Uniform Polychora, Norman W. Johnson (Wheaton College), 1845 cases in 2005
Литература[править | править вики-текст]
T. Vialar. Complex and Chaotic Nonlinear Dynamics: Advances in Economics and Finance. — Springer, 2009. — С. 674. — ISBN 978-3-540-85977-2.
V. Capecchi, P. Capecchi, M. Buscema, B. D'Amore. Applications of Mathematics in Models, Artificial Neural Networks and Arts. — Springer, 2010. — С. 598. — ISBN 978-90-481-8580-1. — DOI:10.1007/978-90-481-8581-8
H.S.M. Coxeter:
H. S. M. Coxeter, M. S. Longuet-Higgins, J. C. P. Miller: Uniform Polyhedra, Philosophical Transactions of the Royal Society of London, Londne, 1954
H.S.M. Coxeter. Regular Polytopes[en]. — 3rd (1947, 63, 73). — New York: Dover Publications Inc., 1973. — ISBN 0-486-61480-8.
H.S.M. Coxeter. Kaleidoscopes: Selected Writings of H. S. M. Coxeter / F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss. — Wiley-Interscience Publication, 1995. — ISBN 978-0-471-01003-6.
(Paper 22) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi Regular Polytopes I, [Math. Zeit. 46 (1940) 380—407, MR 2,10]
(Paper 23) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes II, [Math. Zeit. 188 (1985) 559—591]
(Paper 24) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes III, [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]
J.H. Conway, M.J.T. Guy. Proceedings of the Colloquium on Convexity at Copenhagen. — 1965. — С. 38-39.
Norman Johnson[en]. The Theory of Uniform Polytopes and Honeycombs. — Ph.D. Dissertation. — University of Toronto, 1966.
Four-dimensional Archimedean Polytopes (German), Marco Möller, 2004 PhD dissertation [1]
Ссылки[править | править вики-текст]
Weisstein, Eric W. Polychoron (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
Weisstein, Eric W. Polyhedral formula (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
Weisstein, Eric W. Regular polychoron Euler characteristics (англ.) на сайте Wolfram MathWorld. *George Olshevsky[en]
Four dimensional figures page
George Olshevsky[en] Polychoron на Glossary for Hyperspace
Uniform Polychora, Jonathan Bowers
Uniform polychoron Viewer — Java3D Applet with sources
Dr. R. Klitzing, polychora
[показать]
Многогранники
Правильные
Трёхмерные
(платоновы тела)
Правильный тетраэдр • Куб • Октаэдр • Додекаэдр • Икосаэдр
Четырёхмерные
Пятиячейник • Тессеракт • Шестнадцатиячейник • Двадцатичетырёхячейник • Стодвадцатиячейник • Шестисотячейник
Большей размерности
Правильный симплекс • Гиперкуб (Пентеракт • Хексеракт • Хептеракт • Октеракт • Энтенеракт • Декеракт) • Гипероктаэдр
Правильные
невыпуклые
Звёздчатый додекаэдр • Звёздчатый икосододекаэдр • Звёздчатый икосаэдр • Звёздчатый многогранник • Звёздчатый октаэдр
Выпуклые
Архимедовы тела
Кубооктаэдр • Икосододекаэдр • Усечённый тетраэдр • Усечённый октаэдр • Усечённый икосаэдр • Усечённый куб • Усечённый додекаэдр • Ромбокубооктаэдр • Ромбоикосододекаэдр • Ромбоусечённый кубооктаэдр • Ромбоусечённый икосододекаэдр • Курносый куб • Курносый додекаэдр
Каталановы тела
Ромбододекаэдр • Ромботриаконтаэдр • Триакистетраэдр • Тетракисгексаэдр • Пентакисдодекаэдр • Триакисоктаэдр • Триакисикосаэдр • Дельтоидальный икоситетраэдр • Дельтоидальный гексеконтаэдр • Гекзакисоктаэдр • Гекзакисикосаэдр • Пентагональный икоситетраэдр • Пентагональный гексеконтаэдр
Многогранники
Джонсона
Квадратная пирамида • Трёхскатный купол • Четырёхскатный купол • Удлинённая треугольная пирамида • Удлинённая четырёхугольная пирамида • Удлинённая пятиугольная пирамида • Скрученно удлинённая четырёхугольная пирамида • Пятиугольная бипирамида • Удлинённая треугольная бипирамида • Удлинённая четырёхугольная бипирамида • Удлинённая пятиугольная бипирамида • Скрученно удлинённая четырёхугольная бипирамида • Гиробифастигиум • Четырёхскатный повёрнутый бикупол • Удлинённый квадратный гирокупол • Наращённая треугольная призма • Дважды наращённая треугольная призма • Трижды наращённая треугольная призма • Наращённая пятиугольная призма • Дважды наращённая пятиугольная призма • Наращённая шестиугольная призма • Дважды противоположно наращённая шестиугольная призма • Дважды косо наращённая шестиугольная призма • Трижды наращённая шестиугольная призма • Наращённый додекаэдр • Дважды противоположно наращённый додекаэдр • Дважды косо наращённый додекаэдр • Трижды наращённый додекаэдр • Трижды отсечённый икосаэдр • Наращённый трижды отсечённый икосаэдр • Наращённый усечённый тетраэдр • Наращённый усечённый куб • Дважды наращённый усечённый куб • Наращённый усечённый додекаэдр • Дважды противоположно наращённый усечённый додекаэдр • Дважды косо наращённый усечённый додекаэдр • Трижды наращённый усечённый додекаэдр • Плосконосый двуклиноид • Клинокорона • Наращённая клинокорона • Большая клинокорона • Уплощённая треугольная клиноротонда
Пирамида • Призма • Бипирамида • Антипризма • Зоноэдр • Параллелепипед • Ромбоэдр • Призматоид • Тетраэдр • Усечённая пирамида • Пентагондодекаэдр • Параллелоэдр • Купол • Ротонда • Биротонда • Дельтаэдр
Формулы,
теоремы,
теории
Теорема Александрова о выпуклых многогранниках • Теорема Бликера • Теорема Коши о многогранниках • Теорема Линделёфа о многограннике • Теорема Минковского о многогранниках • Теорема Сабитова • Теорема Эйлера для многогранников • Формула Шлефли
Прочее
Ортоцентрический тетраэдр • Равногранный тетраэдр • Прямоугольный параллелепипед • Группа многогранника • Двенадцатигранники • Телесный угол • Единичный куб • Изгибаемый многогранник • Развёртка • Символ Шлефли • Паркет
Для улучшения этой статьи желательно:
Проверить качество перевода с иностранного языка.
Исправить статью согласно стилистическим правилам Википедии.
Источник — «https://ru.wikipedia.org/w/index.php?title=Четырёхмерный_многогранник&oldid=83639255»
Категории: Многомерная евклидова геометрияАлгебраическая топологияМногогранникиСкрытые категории: Википедия:Запросы на замену перенаправлений переводамиВикипедия:Плохой переводВикипедия:Стилистически некорректные статьиСтраницы, использующие волшебные ссылки ISBN
|
|
Категория: Необычное |
Просмотров: 232 |
Добавил: alena_soboleva_70
| Рейтинг: 0.0/0 |
| |
 | |  |
|
